SlipSurface IQ Kinematic — teori

SlipSurface IQ Kinematic'in ne hesapladığı ve her yöntemin nerede geçerliliğini yitirdiği. Açılar derece, uzunluklar m, kuvvetler şevin metresi başına kN (düzlemsel ve devrilme) veya kN (kama), gerilmeler kPa ve birim hacim ağırlıklar kN/m³'tür.

1. Yönelimler ve stereonet

Bir düzlem eğimi ψ (0–90°, yataydan aşağı ölçülür) ve eğim yönü α (0–360°, kuzeyden saat yönünde, düzlemin eğildiği yön) ile verilir. Bir çizgi doğrultusu (azimut, trend) ve dalımı (plunge, yataydan aşağı) ile verilir.

x = doğu, y = kuzey, z = yukarı çerçevesinde, bir düzlemin (aşağı bakan) birim normali ve bir çizginin birim vektörü:

n = ( sin ψ · sin α,  sin ψ · cos α,  cos ψ )
l = ( cos(plunge) · sin(trend),  cos(plunge) · cos(trend),  −sin(plunge) )

Bir düzlemin kutbu onun normalidir: dalım 90° − ψ, doğrultu α + 180°. İki düzlemin kesişimi, aşağı bakacak şekilde alınan n₁ × n₂ boyunca uzanan çizgidir; dalımı ve doğrultusu yukarıdaki bileşenlerden bulunur.

Stereonet, alt yarım kürenin eşit alanlı (Schmidt) izdüşümüdür. Dalımı p olan bir doğrultu şu yarıçapta çizilir:

r = √2 · sin( (90° − p) / 2 )         (ana daire r = 1)

böylece küre üzerindeki eşit alanlar kâğıtta da eşit alan verir; kutup yoğunluklarını karşılaştırılabilir kılan budur. Bir düzlem büyük daire, bir küçük daire (düşey çevresinde bir koni) ise sürtünme sınırı olarak çizilir.

2. Kinematik tarama (Markland, Hocking, Goodman & Bray)

Geometri bloğun şev yüzünden dışarı hareket etmesine izin veriyorsa bir mekanizma kinematik olarak mümkündür; dayanımın buna izin verip vermediği hakkında bir şey söylemez. ψf şev yüzünün eğimi, αf eğim yönü, φ sürtünme açısı ve ±δ yanal sınır (varsayılan 20°) olmak üzere üç koşul:

Düzlemsel kayma. Düzlem şev yüzünde gün ışığına çıkmalı, sürtünme açısından dik eğimli olmalı ve yüze yaklaşık paralel doğrultulu olmalıdır:

φ  ≤  ψp  ≤  ψf          ve          | αp − αf |  ≤  δ

Kama kayması. İki düzlemin kesişim çizgisi gün ışığına çıkmalı ve φ'den dik olmalı, doğrultusu yaklaşık yüzün eğim yönü boyunca olmalıdır. Dalımı, yüzün çizgi doğrultusundaki görünür eğimini aşmamalıdır:

ψi_app = atan( tan ψf · cos(trend_i − αf) )
φ  ≤  plunge_i  ≤  ψi_app          ve          | trend_i − αf |  ≤  δ

Eğilme (blok) devrilmesi. Yüzün içine dik eğimli tabakalar, tabakalar arasındaki kayma mümkünse devrilir. Kutup uzayında (Goodman & Bray 1976):

kutup dalımı (90° − ψ)  ≤  ψf − φ          ve          | (α + 180°) − αf |  ≤  δ

kutup, yüz yönü çevresinde, şev eksi sürtünme açısıyla sınırlanan koninin içinde kalmalıdır. Stereonet üzerine çizilen kesikli daire bu sınırdır (düzlemsel için φ, kama için 90° − φ, devrilme için 90° − (ψf − φ)); kırmızı bulut, seçilen ölçütü sağlayan her yönelimdir.

Kontrol kohezyon konusunda güvenli taraftadır: onu yok sayar; bu yüzden mümkün olarak işaretlenen bir mekanizmanın yine de stabilite için sınanması gerekir.

Kutup yoğunluğu

Kutupların altındaki gölgelendirme, ağın her noktası çevresindeki sayım konisinin içine düşen kutupların tüm kutuplara yüzdesidir. Koni Kamb'ı (1959) izler: yarım kürenin 9 / (n + 9) kesrini kapsar; yani n kutup için yarım açısı acos(1 − 9 / (n + 9))'dur, örneklem büyüdükçe daralır ve 8° ile 30° arasında tutulur. Altıdan az süreksizlik gölgelendirmek için çok az şey söyler. Renk, maviden (seyrek) yeşil ve sarıdan geçerek kırmızıya (en sıkı kümeler) gider.

3. Olasılıksal tarama (Monte Carlo)

Her süreksizlik takımının ortalama bir eğimi, eğim yönü ve ikisine de uygulanan, normal kabul edilen tek bir standart sapması vardır. N denemenin her birinde program her takım için bir eğim (0° ile 90° arasında tutulur) ve bir eğim yönü çeker, seçilen mekanizmanın ölçütünü uygular ve şunu bildirir:

P_f = (en az bir takımın veya takım çiftinin kinematik olarak mümkün olduğu deneme sayısı) / N

ve her takım için (kama için çift için; kesişim çizgisi her seferinde çekilen yönelimlerden yeniden hesaplanır) o takımın mümkün olduğu denemelerin payı. Çekimler sabit tohumludur; bu yüzden bir çalıştırma aynen tekrarlanır. Risk sınıfı: P_f < %5 düşük, %5–15 orta, ≥ %15 yüksek. Sonuç, standart sapmalar kadar iyidir: gerçek bir sahanın saçılımı nadiren tek anlamlı basamaktan fazlasını haklı çıkarır.

4. Limit denge

4.1 Düzlemsel kayma (Hoek & Bray 1981)

Birim kalınlıkta bir blok, ψf eğimli bir yüzün ve ψs eğimli bir üst şevin altında ψp eğimli bir düzlem üzerinde kayar; ψs < ψp < ψf. Mahyanın b kadar gerisindeki (veya yüzdeki) z derinlikli bir çekme çatlağı bloğu kapatır; çatlak yoksa düzlem üst şeve kadar uzanır. Ağırlık W = γ·A (A bloğun metre başına alanı), deprem katsayıları kh (yatay, dışarıya) ve kv (düşey, aşağıya) ve düzlemin uzunluğu L olmak üzere

N = W (1 + kv) cos ψp − kh W sin ψp − U − V sin ψp
S = W (1 + kv) sin ψp + kh W cos ψp + V cos ψp
FS = ( c L + N tan φ ) / S

burada U düzlemdeki kaldırma, V çatlaktaki su itkisidir. Su, Hoek & Bray modelidir: çatlakta zw = p·z derinliği vardır (p dolu kesir), basınç çatlakta üçgendir ve düzlem boyunca topukta sıfıra doğrusal düşer,

V = ½ γw zw²          U = ½ γw zw L

çatlak yoksa düzlemdeki basınç iki uçta sıfırdan ortada en yükseğe çıkar. Yataydan θ açısıyla aşağıya T destek kuvveti, düzleme paralel T cos(θ + ψp) ve dik T sin(θ + ψp) bileşenlerine sahiptir; aktif (öngermeli) destek S'yi azaltır ve N'ye ekler, pasif olan dirence ekler. Hedef güvenlik sayısı FS_t için gereken kuvvet

T = ( FS_t · S − R₀ ) / ( FS_t · cos(θ + ψp) + sin(θ + ψp) tan φ )          (aktif)

R₀ destek olmadan direnç, S destek olmadan kaydırıcı kuvvettir; en ekonomik açı tan(ψp + θ) = tan φ / FS_t. Efektif normal kuvvet N pozitif değilse blok düzlemden ayrılır ve program bunu söyler. Destek, su ve deprem yoksa güvenlik sayısı kitabın kapalı biçimine iner, (c L + W cos ψp tan φ) / (W sin ψp).

4.2 Kama kayması (Hoek & Bray, vektör yöntemi)

İki süreksizlik J1 ve J2, şev yüzü ve üst şev, tetrahedral bir kama oluşturur. Program onu dört düzlemden kurar (hacim, alanlar ve kesişim çizgisi vektör cebriyle) ve kuvvetleri 3B'de vektör olarak ayrıştırır:

• aktif kuvvetlerin bileşkesi R = W (aşağı) + su itkileri U₁, U₂ (her düzleme dik, kamayı ondan iter) + deprem kuvveti + aktif destek kuvvetidir. Su kuru, dolu (Hoek & Bray modeli, bir düzlemdeki ortalama basınç γw·Hw/6), bunun bir yüzdesi ya da her düzlem için verilen bir basınçtır;

• (kamanın içine bakan) birim normaller n₁, n₂ ve kesişim çizgisi boyunca aşağı birim vektör s ile temas kuvvetleri ve kaydırıcı kuvvet R + N₁ n₁ + N₂ n₂ = S s denkleminden, 3×3 bir doğrusal sistemden bulunur;

• N₁ > 0 ve N₂ > 0 ise kama iki düzlemde, kesişim çizgisi boyunca kayar:

  FS = ( N₁ tan φ₁ + c₁ A₁ + N₂ tan φ₂ + c₂ A₂ ) / S
  

• bir düzlemde temas kaybolursa kama yalnız diğerinde kayar; o düzlemin bileşkedeki en dik iniş çizgisi boyunca (ve yalnızca hareket, kalkan düzlemden uzağa doğruysa); ikisinden de ayrılırsa R aşağıya bakıyorsa düşer (FS = 0), kayanın içine bakıyorsa stabildir.

Su, destek ve deprem içermeyen bir kama için bu, Hoek & Bray'in kapalı form çözümüdür; program onu tam olarak yakalar (kitabın çözülmüş örneği için kuru 1,696, su dolu 1,065).

4.3 Blok devrilmesi (Goodman & Bray 1976; Wyllie & Mah 2004)

Kaya, şev içine ψd ile eğimli süreksizliklerin oluşturduğu, genişliği Δx ve yükseklikleri y_n olan, genel açısı ψb olan basamaklı bir tabanda duran dikdörtgen bloklar dizisi olarak idealleştirilir; her bloğun tabanı ψp = 90° − ψd ile eğimlidir. Program, en üstteki bloktan topuğa kadar her bloğun P_n itkisini bir sonrakine taşır. n numaralı blok için, yerinde durması için üstündeki bloğun vermesi gereken iki aday itki vardır:

P_devrilme = [ P_(n+1) (M − Δx tan φ) + ½ W (y sin ψp − Δx cos ψp) + ½ kh W (y cos ψp + Δx sin ψp)
               + V_u h_u / 3 − V_d h_d / 3 + U x_U ] / L
P_kayma    = P_(n+1) + (V_u − V_d) − [ (W cos ψp − kh W sin ψp − U) tan φ − (W sin ψp + kh W cos ψp) ] / (1 − tan² φ)

M ve L, itkinin dönme noktasından (bloğun alt ön köşesi) kolları ve bloğun kendi geometrisidir; V_u ve V_d arka ve ön eklemlerdeki su itkileri, U tabandaki kaldırmadır. P_devrilme büyükse ve blok devrilecek kadar uzunsa (y / Δx > cot ψp) blok devrilir, değilse kayar; ikisi de sıfır veya negatifse stabildir ve itki geçer. Su RocTopple'ı izler: her eklemde üçgen basınç, V = ½ γw h², h iki komşu blok yüksekliğinin küçüğünün dolu kesri, her bloğun altında yamuk. Topuk bloğunda kalan P₀ itkisi, şev dengedeyse sıfırdır.

Güvenlik sayısı, dengenin yeni yeni sağlanması için sürtünmenin bölünmesi gereken sayıdır: program, P₀ = 0 olan φ_req sürtünme açısını ikiye bölme ile bulur ve şunu verir:

FS = tan φ / tan φ_req

(φ = 45°'de bile denge sağlanmıyorsa 0, sürtünmesiz tutuyorsa ∞). Kayma denkleminde 1 − tan² φ çarpanı vardır; bu yüzden φ ≥ 45° için sonuçlar güvenilir değildir ve işaretlenir. Güvenlik sayısı için gereken topuktaki ankraj, sürtünme tan φ / FS_t'ye indirilerek aynı denklemlerle bulunur.

5. Destek: bulonlar ve ankrajlar

Belirli bir doğrultu ve dalımda, öngermeli veya pasif bir T destek kuvveti, § 4'ün dengesine yüzeye dik ve yüzey boyunca bileşenleri olan bir kuvvet olarak girer (kama için, kuvvet başına FS'de en büyük kazancı veren yön aranabilir ve hedef FS için asgari kuvvet bir tarama ve ardından ikiye bölme ile bulunur; çünkü göçme modu değişince FS(T) monoton olmayabilir). Şevin ihtiyaç duyduğu kuvvet bir bulon düzenine çevrilir:

• bir bulonun kapasitesi çalışma çekme kapasitesidir (örneğin çubuğun akmasının yaklaşık 0,6'sı); bulon sayısı T'nin ona bölünmesidir, düzlemsel göçmede şevin metresi başına, kamada toplam olarak; kare aralık s, verdiğiniz sınırlar içinde seçilir ve bir adıma yuvarlanır;

• sağlam kayadaki kök (bond) boyu, çalışma kapasitesi T_b, delik çapı d ve şerbet–kaya bağ dayanımı τ için:

  L_bond = T_b · FS_bond / ( π d τ )          (en az kök boyundan az olamaz)
  

• toplam boy, serbest boy (yüzden kayma yüzeyine bulon doğrultusunda) + kök boyu + başlıktaki paydır.

Seçilen bir tasarım sonra tersinden kontrol edilir: düzenin kapasitesi, şevin ihtiyaç duyduğu kuvvete karşı ve verdiği güvenlik sayısı.

6. Kapsanmayanlar

• Dönel ve dairesel göçme: onlar için SlipSurface IQ LE'yi kullanın.
• Kamanın şekli, vektör yönteminin ideal tetrahedronudur; ikiden fazla düzlemle kesilen veya yüzü kesmeyen bir düzlemle kesilen bir kama yöntemin dışındadır.
• Su, doğrusal düşüşlü dolu çekme çatlağının Hoek & Bray modelidir; gerçek sızma bir yeraltı suyu analizi gerektirir.
• Dinamik yükleme yalnızca pseudo-statik katsayıdır.
• Devrilen bir bloğun düzlemsel olmayan (basamaklı, pürüzlü) tabanı ve zaten kesilmiş blokların etkileşimi.

Kaynaklar

• Markland, J.T. (1972). A useful technique for estimating the stability of rock slopes when the rigid wedge sliding type of failure is expected. Imperial College Rock Mechanics Research Report 19.
• Hocking, G. (1976). A method for distinguishing between single and double plane sliding of tetrahedral wedges. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 13, 225–226.
• Goodman, R.E. & Bray, J.W. (1976). Toppling of rock slopes. Proc. Specialty Conf. on Rock Engineering for Foundations and Slopes, ASCE, Boulder, 2, 201–234.
• Hoek, E. & Bray, J.W. (1981). Rock Slope Engineering, 3rd ed. Institution of Mining and Metallurgy.
• Kamb, W.B. (1959). Ice petrofabric observations from Blue Glacier, Washington, in relation to theory and experiment. J. Geophys. Res. 64, 1891–1909.
• Wyllie, D.C. & Mah, C.W. (2004). Rock Slope Engineering: Civil and Mining, 4th ed. Spon Press.